在平面直角坐标系\(xOy\)中，我们常常会遇到各种几何图形的解析表达问题。假设现在有一个抛物线，其顶点位于原点，并且开口方向朝上。这样的抛物线可以用标准方程表示为\(y = ax^2\)，其中参数\(a\)决定了抛物线的宽度和形状。
如果进一步给出该抛物线上一点的具体坐标，例如\((p, q)\)，那么我们可以通过代入法求解出系数\(a\)。具体步骤如下：将点\((p, q)\)的坐标代入方程\(q = ap^2\)，从而得到\(a = \frac{q}{p^2}\)（前提是\(p \neq 0\)）。这样一来，我们就能够唯一确定这条抛物线的方程了。
此外，在实际应用中，抛物线还可能受到平移或旋转的影响。比如，当抛物线向右平移\(h\)个单位长度，同时向上平移\(k\)个单位长度时，其新的方程可以写成\(y-k = a(x-h)^2\)。这种形式不仅保留了抛物线的基本特性，同时也便于分析它在不同位置上的行为。
通过以上讨论可以看出，在平面直角坐标系中研究抛物线具有重要的理论意义与实践价值。无论是解决数学难题还是应用于物理工程领域，掌握好抛物线的相关知识都是非常必要的。
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