【复数的运算】复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。复数由实部和虚部组成，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。本文将对复数的基本运算进行总结，并通过表格形式清晰展示其运算规则。
一、复数的加法
两个复数相加时，分别将它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加。
公式：
$$
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
$$
二、复数的减法
两个复数相减时，同样分别对实部和虚部进行减法运算。
公式：
$$
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
$$
三、复数的乘法
复数相乘时，使用分配律展开，再合并同类项，注意 $ i^2 = -1 $。
公式：
$$
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
四、复数的除法
复数除法通常需要将分母有理化，即乘以共轭复数，使分母变为实数。
公式：
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
五、复数的共轭
复数 $ a + bi $ 的共轭为 $ a - bi $，共轭在计算复数的模和除法时非常有用。
六、复数的模（绝对值）
复数 $ a + bi $ 的模为 $ \sqrt{a^2 + b^2} $，表示该复数在复平面上到原点的距离。
七、复数的极坐标表示
复数也可以用极坐标形式表示为 $ r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或 $ re^{i\theta} $，其中 $ r $ 是模，$ \theta $ 是幅角。
复数运算总结表
| 运算类型 | 公式 | 示例 | ||||
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | $ (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i $ | ||||
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | $ (7 - 2i) - (3 + 4i) = 4 - 6i $ | ||||
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | $ (1 + 2i)(3 + 4i) = -5 + 10i $ | ||||
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | $ \frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{5 + i}{2} $ | ||||
| 共轭 | $ \overline{a + bi} = a - bi $ | $ \overline{3 + 4i} = 3 - 4i $ | ||||
| 模 | $ | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $ | $ | 1 + i | = \sqrt{2} $ |
| 极坐标 | $ a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或 $ re^{i\theta} $ | $ 1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} $ |
通过以上内容可以看出，复数的运算虽然涉及虚数单位 $ i $，但其基本规则与实数运算类似，只是多了一个虚部的处理。掌握这些运算方法，有助于进一步理解复数在实际问题中的应用。
