在概率论与数理统计中，正态分布是一种非常重要的连续型随机变量的概率分布形式。它广泛应用于自然科学、社会科学以及工程学等多个领域。正态分布的分布函数是描述随机变量小于或等于某个特定值的概率累积函数。

假设一个随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，其中 \( \mu \) 是均值，\( \sigma \) 是标准差。那么，正态分布的分布函数可以表示为：

\[

F(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt

\]

这个积分没有初等函数解，通常需要借助标准正态分布表或者数值方法来计算。为了简化计算，我们可以通过标准化将任意正态分布转化为标准正态分布 \( Z \sim N(0, 1) \)。具体来说，令 \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \)，则 \( Z \) 的分布函数变为：

\[

\Phi(z) = P(Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{u^2}{2}} du

\]

通过查表或使用软件工具，我们可以方便地找到标准正态分布的累积概率值。这种标准化的过程极大地简化了实际应用中的计算工作。

此外，正态分布的分布函数还具有对称性和归一化性质。例如，对于任何实数 \( c \)，有 \( F(-c) + F(c) = 1 \)，这反映了正态分布关于均值对称的特点。

总之，正态分布的分布函数不仅是理论研究的重要工具，也是实际数据分析和决策制定的基础。掌握这一概念有助于更好地理解和运用正态分布的相关知识。

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