【怎样判断一个矩阵是负定矩阵?】在数学和线性代数中，矩阵的正定性和负定性是判断其性质的重要工具，广泛应用于优化、统计、物理学等领域。判断一个矩阵是否为负定矩阵，通常需要通过一些特定的条件来进行验证。下面将从基本概念出发，总结出判断一个矩阵是否为负定矩阵的方法，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念
- 正定矩阵：对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，都有 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 $。
- 负定矩阵：对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，都有 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 $。
- 半正定/半负定矩阵：允许存在 $ \mathbf{x} \neq 0 $ 使得 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0 $。
二、判断负定矩阵的方法
| 方法 | 判断依据 | 说明 |
| 顺序主子式符号法 | 所有奇数阶顺序主子式小于0，偶数阶顺序主子式大于0 | 即：$ (-1)^k \cdot D_k > 0 $，其中 $ D_k $ 是第 $ k $ 阶顺序主子式，$ k = 1, 2, ..., n $。 |
| 特征值法 | 所有特征值均为负数 | 若矩阵 $ A $ 的所有特征值 $ \lambda_i < 0 $，则 $ A $ 是负定矩阵。 |
| 二次型法 | 对于任意非零向量 $ \mathbf{x} $，二次型 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 $ | 直接计算二次型的结果，若恒为负，则矩阵为负定。 |
| 对称性要求 | 矩阵必须是对称矩阵 | 负定性的定义通常仅适用于对称矩阵，因此需先确认矩阵是否为对称矩阵。 |
三、注意事项
1. 对称性是前提：只有对称矩阵才具有明确的正定或负定性质。若矩阵不是对称的，应先将其转换为对称形式（如取 $ A + A^T $）后再进行判断。
2. 特征值法适用范围广：尤其适用于高维矩阵，可以通过数值方法快速求解特征值。
3. 顺序主子式法适合小规模矩阵：当矩阵规模较小时，计算顺序主子式较为简便，但随着维度增加，计算量会显著上升。
四、示例分析
假设有一个对称矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1 & -3
\end{bmatrix}
$$
- 顺序主子式：
- 第1阶主子式：$ D_1 = -2 < 0 $
- 第2阶主子式：$ D_2 = (-2)(-3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 > 0 $
- 满足“奇数阶小于0，偶数阶大于0”的条件 → 负定。
- 特征值：
- 特征方程为 $ \det(A - \lambda I) = 0 $
- 解得 $ \lambda_1 = -1 $，$ \lambda_2 = -4 $ → 全为负 → 负定。
五、总结
判断一个矩阵是否为负定矩阵，主要依赖于以下几点：
- 矩阵必须是对称的；
- 可通过顺序主子式的符号变化来判断；
- 或通过计算所有特征值是否全为负数；
- 也可通过二次型的符号来判断。
这些方法各有优劣，可根据实际问题选择合适的方式进行判断。
如需进一步了解正定矩阵或半正定矩阵的判断方法，可继续查阅相关资料。
