【什么是负定矩阵】负定矩阵是线性代数中的一个重要概念，常用于优化、数值分析和统计学等领域。它与正定矩阵相对应，具有类似的性质，但符号相反。理解负定矩阵有助于判断二次型的极值情况、矩阵的特征值分布等。
一、
负定矩阵是指一个对称矩阵，其所有特征值均为负数。换句话说，对于任意非零向量 x，都有 x^T A x < 0。这种矩阵在数学和工程中有着广泛的应用，例如在函数的凹性判断、稳定性分析等方面。
负定矩阵与正定矩阵有相似的定义方式，但符号不同。正定矩阵的所有特征值为正，而负定矩阵则为负。此外，负定矩阵的行列式也为负数（对于偶数阶矩阵），或者在奇数阶时可能为正或负，具体取决于矩阵结构。
负定矩阵的一个重要性质是：如果一个矩阵是负定的，那么它的逆矩阵也是负定的。同时，负定矩阵的主子式也满足一定的符号条件。
二、表格对比：正定矩阵 vs 负定矩阵
| 特征 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | 对称矩阵，所有特征值 > 0 | 对称矩阵，所有特征值 < 0 |
| 二次型 | x^T A x > 0（对任意非零 x） | x^T A x < 0（对任意非零 x） |
| 行列式 | 所有主子式 > 0 | 奇数阶主子式 < 0，偶数阶主子式 > 0 |
| 特征值 | 全部为正 | 全部为负 |
| 可逆性 | 是 | 是 |
| 逆矩阵 | 正定 | 负定 |
| 应用 | 凸函数、最小值点 | 凹函数、最大值点 |
三、小结
负定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其所有特征值均为负数。通过判断矩阵的特征值、二次型的符号以及主子式的符号，可以判断一个矩阵是否为负定矩阵。它在数学建模、最优化问题和系统稳定性分析中具有重要意义。理解负定矩阵的性质，有助于更深入地掌握线性代数的相关知识。
