首先，我们知道圆的标准方程可以表示为：

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

其中 \( (h, k) \) 是圆心的位置，\( r \) 是圆的半径。在这个题目中，圆心是原点 \( O(0, 0) \)，所以 \( h = 0 \) 和 \( k = 0 \)。因此，圆的方程简化为：

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

接下来，由于圆经过点 \( A(13, 0) \)，我们可以将点 \( A \) 的坐标代入圆的方程来求解半径 \( r \)。将 \( A(13, 0) \) 代入 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 得到：

\[ 13^2 + 0^2 = r^2 \]

\[ r^2 = 169 \]

所以，圆的半径 \( r \) 为 13。

现在，考虑直线 \( y = kx \)。这条直线经过原点，并且斜率为 \( k \)。我们需要分析这条直线与圆的关系。直线与圆的交点可以通过联立方程组来确定：

\[ x^2 + y^2 = 169 \]

\[ y = kx \]

将 \( y = kx \) 代入圆的方程得到：

\[ x^2 + (kx)^2 = 169 \]

\[ x^2 + k^2x^2 = 169 \]

\[ (1 + k^2)x^2 = 169 \]

\[ x^2 = \frac{169}{1 + k^2} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{169}{1 + k^2}} \]

相应的 \( y \) 坐标为：

\[ y = kx = \pm k \sqrt{\frac{169}{1 + k^2}} \]

因此，直线 \( y = kx \) 与圆的交点为：

\[ \left( \sqrt{\frac{169}{1 + k^2}}, k \sqrt{\frac{169}{1 + k^2}} \right) \]

和

\[ \left( -\sqrt{\frac{169}{1 + k^2}}, -k \sqrt{\frac{169}{1 + k^2}} \right) \]

通过这些计算，我们可以清楚地看到直线与圆的关系，具体取决于参数 \( k \) 的值。当 \( k = 0 \) 时，直线变为 \( y = 0 \)，即 \( x \)-轴，与圆相切于点 \( A(13, 0) \)。随着 \( k \) 的变化，直线绕原点旋转，可能会穿过圆或者与圆相切。

总结来说，这个问题不仅帮助我们理解了圆的基本性质，还展示了如何利用代数方法解决几何问题。希望这个解答对你有所帮助！如果你有更多关于几何或代数的问题，欢迎继续探讨。